Великанова Т. В начальной и средней школе - одна математика
Какие цели и задачи стоят перед учителем, преподающим математику? Начну с
начальной школы. В начальной школе первая и всеми признаваемая цель - научить
элементарным приемам и навыкам счета. Вторая, не менее важная, - обеспечить
успех каждому ученику. Успешность или неуспешность ученика в начальной школе
во многом определяет его отношение к учебе, к школе вообще, и иногда всю его
дальнейшую судьбу. Третья цель (в равной степени относящаяся и к средней школе)
- привить вкус и любовь к интеллектуальной деятельности, обеспечить возможность
творческого, поискового подхода к тому, чему его учат. В средней и старшей школе
цели, конечно, шире, и одна из главных целей, как мне кажется - научить
ребенка понимать, что мир сложен, но не хаотичен; что то, что мы изучаем (и
как мы изучаем), - это всегда модели сложного, но реального; и, наконец, что
любая модель действует в ограниченной области, и очень желательно знать границы
применения модели.
Я веду математику в начальной школе и продолжаю в тех же классах до седьмого
или восьмого. Такая организация преподавания математики имеет существенные
преимущества перед обычной, когда математику в начальной школе ведет учитель
начальных классов. Я уверена, что математическому мышлению следует обучать с
первого класса.
Здесь я хотела бы поделиться своим опытом, некоторыми идеями и приемами,
которые помогают мне достигать (не всегда и не со всеми, конечно) перечисленных
выше целей. Сначала назову эти идеи и приемы, а затем приведу примеры конкретных
тем и задач.
Первое - идея "опережения". Многие понятия и даже разделы математики,
которые даются в средних и старших классах, следует вводить уже в начальной
школе. Это не означает, что их нужно "пройти" раньше, нужно только начать
раньше. Пропедевтика сложного на более простом материале существенно облегчает
прохождение этого сложного в дальнейшем. Дети радуются, встречая уже знакомые им
вещи, о которых теперь можно узнать больше, или иначе, или в другом контексте.
Задачу, которую они решали во втором классе методом "подбора", оказывается,
можно решить в шестом или в восьмом классе с помощью уравнения, гораздо быстрее.
Вычислительные приемы, которые учитель давал без объяснения (с обещанием
объяснить в старших классах, "почему так получается"), оказывается, можно легко
обосновать с помощью алгебры. И так далее. Идея "опережения" реализуется не
только в отдельных темах, но и в ряде понятий и языковых конструкций,
используемых в продолжение всего курса и постепенно математизируемых. Такие
понятия, как "множество", "все", "каждый", "некоторые", максимум и минимум на
некотором множестве, истинность и ложность утверждения, утверждение и его
отрицание и т. д., вполне доступны ученикам начальной школы, а задачи, для
которых эти понятия необходимы, неизменно вызывают интерес.
Вторая идея - необходимость организации таких видов деятельности ребенка и
таких задач, в которых может быть проявлена самостоятельная, поисковая
активность ученика. Традиционно в начальной и средней школе основное время
уделяется изучению правил и процедур, а роль задач скорее иллюстративная. Сами
же задачи - очень искусственно сконструированные модели, где все необходимые
данные присутствуют, ничего лишнего нет, и ответ всегда получается "хороший".
При этом однотипных задач много, и весь набор задач сводится к нескольким типам.
В результате сильный ученик решает задачу сразу, а слабый ждет, когда решение
появится на доске, и обоим скучно. В качестве "поисковых" задач можно давать
такие, которые в начальной школе нельзя решить иначе, как "подбором". Такие
задачи требуют времени и готовности пробовать. Учителю же нужно помочь ученикам
в записи проб. Приученные к такой форме работы ученики не говорят: "Мы таких
задач не проходили", а начинают сразу действовать. У учителя же появляется
возможность наблюдать за процессом решения, помочь слабому ученику, подтолкнуть,
довести до результата, похвалить. Очень важны такие задания, в которых ученики
должны составить свои примеры, уравнения, задачи, удовлетворяющие заданным
условиям. В таких заданиях тоже приходится пробовать, проверять, а в процессе
поиска может быть найден, понят алгоритм составления такого уравнения или
задачи. В средней школе в качестве "поисковых" задач можно давать реальные
проблемы, возникающие в жизни (или в сказке!), решение которых имеет смысл не
только тренировочный. Такую задачу ученик должен еще и "поставить", найти или
узнать у учителя недостающие данные, отбросить лишние, выбрать необходимые
математические процедуры и их последовательность, суметь все это записать
удобным способом и т. д. На каждом этапе, естественно, возможна помощь учителя.
Конкретные примеры таких задач будут даны ниже.
С идеей "поисковой" деятельности связана третья идея - работа в малых
группах. Группы могут быть от двух до шести человек, могут быть составлены
учителем, или "по желанию", или случайным образом, с помощью заготовленных
номеров. В зависимости от задачи, которую предстоит решать, разбиение на группы
можно делать по-разному. Важно, что дети могут обсуждать внутри группы и
постановку, и способы решения задачи, и способы проверки, и даже разделять
работу между собой, когда задача требует многих вычислений, например, проб.
Обсуждение рождает идеи, идеи вызывают другие идеи, поиск пошел! В удачных
случаях при наблюдении за работой такой группы возникало ощущение творческой
атмосферы маленького научного коллектива.
Наконец, последний принцип, или приём: объединять всё, что можно
объединить; использовать все связи, аналогии, противопоставления и т. д.
Поясню на примере. В учебниках есть задачи на скорость, на производительность,
на наполнение бассейна и т. п. Ученику самому трудно понять, что задача на
встречное движение двух поездов и задача о наполнении бассейна через две трубы с
точки зрения математики - одна и та же задача; что "скорость" - это не только
скорость поезда или машины, но и производительность. И если учитель поможет
ученику увидеть эту общность, его понимание и умение решать такие задачи
поднимутся на следующую ступень.
Теперь приведу примеры тем и задач, которые я использовала в первых-седьмых
классах.
Пример 1. Выбор самого дешевого (или самого быстрого) способа доставки
груза. Дается 2-3 вида грузовиков разной грузоподъемности, общий объем груза,
цена за 1 рейс для каждого вида, время на 1 рейс и т. п. Задачу можно давать и в
третьем, и в пятом, и в седьмом классе, варьируя данные. Степень сложности
задачи меняется при этом очень сильно, но в любой постановке требует многих
вычислений и выбора "лучшего" варианта по какому-нибудь параметру из нескольких
возможных. В самом простом варианте это задача на "деление с остатком", в самом
сложном - решение диофантовых уравнений.
Пример 2. Оклейка комнаты обоями. Даны параметры комнаты, размеры и
цена одного рулона (видов обоев несколько). Нужно узнать, сколько и каких
требуется рулонов, чтобы затраты были минимальными или не превосходили некоторой
суммы. В последнем случае решений может быть несколько. Эту задачу, как и
предыдущую, можно варьировать от самой простой (два вида обоев, оклеиваем одну
стену) до значительно более сложной, когда, например, нужно учесть еще и
периодичность рисунка.
Пример 3. Задачу приведу буквально: "Было 22 кролика. Каждая крольчиха
родила 5 крольчат; из всех крольчат 20 оказались "мальчиками". Через год опять
каждая крольчиха родила 5 крольчат. Всего стало 342 кролика. Сколько было
крольчих сначала?". Задачу решали в пятом классе методом подбора, затем в
седьмом с помощью уравнения.
Пример 4. Серия задач на решение уравнений в целых числах.
а) Кузнечик прыгает по размеченной дорожке (числовому лучу), например, вперед на
8 единиц и назад на 5 единиц. Как ему попасть в заданную точку 4 или в точку 14?
Задачи с кузнечиком годятся для любого класса, начиная с первого.
б) Как сварить яйцо в течение 7 минут, если у нас есть только двое песочных
часов: на 8 и на 3 минуты? Дети пробуют, считают и в какой-то момент радостно
обнаруживают, что это "та же задача про кузнечика".
в) Та же задача с песочными часами, но у нас есть трое различных часов и нужно
найти самый быстрый способ.
Пример 5. Серия задач на комбинаторику. Эта серия бесконечна, и каждый
учитель может составить множество задач для уровня своего класса, начиная с
первого, когда перебор делается на реальных объектах.
Пример 6. Тема "Геометрия". Мои ученики в последнем классе начальной
школы и в 5-ом классе в течение двух четвертей раз в неделю занимались
построениями с помощью циркуля и линейки. Были проделаны все основные
геометрические построения: деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра к
прямой из заданной точки, построение биссектрисы угла, треугольника по трем
сторонам и некоторые другие. Все построения делались, конечно, без теории, на
основе здравого смысла и симметрии. Строили биссектрисы углов треугольника и
обнаружили, что они пересекаются в одной точке; то же самое с медианами и
высотами. Вопрос "почему так получается" остался открытым до изучения геометрии
в седьмом и восьмом классах. Таких "открытых" вопросов постепенно у нас
накапливается много, и момент, когда они "закрываются", всегда вызывает
оживление.
В начальной школе понятия биссектрисы, медианы, высоты треугольника можно
проиллюстрировать перегибанием бумажных треугольников. Опыт показал, что те
дети, у которых была такая "предварительная" геометрия в третьем и пятом
классах, гораздо лучше (и с большим удовольствием) занимаются ею в старших
классах.
Пример 7. Вероятность. В пятом классе я давала задачу, которую дети
решали парами. Каждая пара получала две игральных кости разного цвета. Нужно
было выяснить, какую часть всех бросков составляют те, в которых есть хотя бы
одна цифра 4. Результаты записывались, суммировались, затем полученное отношение
числа таких бросков к числу всех бросков сравнивали с долей двузначных чисел с
четверкой среди всех тридцати шести возможных чисел.
Список примеров, задач и разнообразных видов деятельности можно продолжить,
но, думаю, главное понятно. Ученик в школе не только получает знания, но и
учится учиться, учится подходу к проблеме, задаче - не только интеллектуальному,
но и эмоциональному. Поэтому, как мне кажется, важно, чтобы математику уже в
начальной школе вел учитель, который ее знает и любит. Начальная школа должна
выводить на "большую" математику, или, точнее - "большая" математика должна
начинаться в начальной школе.
1996 г.