4. ДИАЛОГИЗАЦИЯ АКСИОМ

Аксиома — это истина, не требующая доказательств.
Это — мысль, выраженная словами и ясная для всех, кто ее прочитает.
Чтобы опровергнуть аксиому, требуется исключительный ум,
которого у меня, увы, нет!
И поэтому аксиома «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости...»
для меня очевидна, и я ее вижу и понимаю, как она формулируется.
И пока я не могу додуматься до таких положений, где бы эта аксиома могла нарушиться.
Наверно, мне еще долго нужно учиться геометрии, чтобы критически к  ней относиться.
Оксана Шибуняева, VI класс

  Особенностью современного преподавания геометрии является то, что аксиомы, на которых в дальнейшем строится курс, изучаются шестиклассниками в явном виде на самых первых уроках1. Перед учителем возникает сложная методическая проблема организации обучения аксиомам. Самая главная трудность состоит в необходимости приведения учащихся к мысли о том, что нужно обстоятельно и подробно изучать очевидные для них отношения. Возникает неприятная ситуация, известная из школьного анекдота: «Учитель нарисовал на доске равные треугольники, а потом долго доказывал, что они равны». Именно очевидность аксиом и затрудняет обучение им.
  Как мотивировать сравнительно продолжительное обучение аксиомам, этим исходным «клеточкам» будущего геометрического организма? И более широкий вопрос — какова может быть методика обучения исходным отношениям учебного предмета? Зачем изучать то, что очевидно?
  В данном случае к логике диалога учителя подводят проблемы, возникающие внутри самой методики преподавания математики.
  В книгах по основаниям геометрии показано, что процесс обоснования геометрических аксиом требует выхода за пределы данной аксиоматики и рассмотрения иной аксиоматики. Обоснование данных начал есть процесс перехода (на мгновение!) к иным началам. «Для того, чтобы доказать независимость постулатов... нужно... построить патологические пространства, по одному на каждый постулат, с одной патологической особенностью каждое... Возможность такого пространства обнаруживает, что, принимая остальные постулаты, мы не вынуждены принять и этот постулат, он поэтому от них не зависит»1.
  Исходя из этого, мы выстроили программу диалогического обучения аксиомам геометрии в VI классе. Перед детьми с самого начала ставилась задача описания основных свойств двух пространств: евклидовой плоскости и поверхности шара. Позднее были введены термины «геометрия Евклида» и «геометрия Римана». Вводились основные понятия, характеризующие эти пространства: точка и прямая. Под прямой понималась кратчайшая линия, соединяющая две точки.
  Дети в ходе учебных задач убеждаются, что прямые в евклидовой плоскости и прямые на поверхности шара обладают различными свойствами. Отсюда возникает необходимость исследования того, какие свойства прямых на поверхности шара и на евклидовой плоскости являются общими, а какие — различными.
  Аксиомы, таким образом, не являлись для детей в ходе обучения очевидными. Например, необходимость в тщательной фиксации аксиомы о единственности прямой, проходящей через две точки, мотивируется тем, что эта аксиома нарушается на поверхности шара (рис. 16).
  Однако есть ряд аксиом, общих для геометрии Евклида и Римана. В этих случаях мы предлагали к каждой такой аксиоме придумать такое пространство, в котором эта аксиома нарушается. Шестиклассники с увлечением работали над созданием своих геометрических «миров». 75% учащихся двух классов построили геометрию, в которой не выполняется такая аксиома (так называемая аксиома 112 в школьном учебнике): «Прямая разбивает плоскость на две полуплоскости так, что, если концы отрезка лежат в одной полуплоскости, то отрезок не пересекает прямую-границу. Если же концы отрезка лежат в разных полуплоскостях, то отрезок пересекает границу». Многие дети предлагали два, три и даже четыре варианта различных пространств. Всего же было предложено 18 вариантов «геометрий».
  Геометрия Ани Кушнир. «Допустим, у нас есть плоскость. В результате страшного геометрического землетрясения она раскололась надвое, образовав две полуплоскости и пустое пространство между ними (рис. 17), Ни действовать в этом пространстве, ни восполнить его мы не можем. В этой геометрии если у нас есть две точки в разных полуплоскостях, то отрезок не только не может пересечь границу, но даже не может соединить эти точки». I Геометрия Олега Гузенко. «Это происходит в геометрии на поверхности трубы-цилиндра. Две точки А и В, лежащие по разные стороны от границы а, можно будет соединить отрезком, что противоречит аксиоме (рис. 18)».
  Геометрия Лизы Пятигорской. «Круги, которые вы видите (рис. 19), — это дыры, внутри которых — пустота. Эти дыры никогда не могут быть расположены «рядами». Они расположены беспорядочно. Имея такие сведения о «дырчатой» геометрии, как мы ее теперь будем называть, мы можем поговорить и о прямых. Так как дыры попадаются очень часто, то как бы мы ни проводили прямую, она всюду натыкается на дыру, т. е. будет ограниченной. А ограниченная прямая — это уже не прямая1. Дырчатая геометрия — это геометрия без прямых, и в этой геометрии некому делить плоскость на две полуплоскости».
  Геометрия Ани Королевой. «Аксиома нарушается в геометрии только параллельных прямых. Пусть точки А и В лежат в разных полуплоскостях с границей а. Тогда отрезок АВ не пересекает границу а, так как такого отрезка просто нет. Ведь прямая, соединяющая точки А и В,— вне нашей геометрии (рис. 20)».
  Тривиальный на первый взгляд факт требует самого нетривиального исследования, как только найдено его опровержение. Размышляя над природой аксиом в человеческом мышлении, В. И. Ленин заметил: «Практика человека, миллиарды раз повторяясь, закрепляется в сознании фигурами логики. Фигуры эти имеют прочность предрассудка, аксиоматический характер именно (и только) в силу этого миллиардного повторения»1. Переход от аксиом, усвоенных как предрассудок, к пониманию их сущности, необходимости требует остановки, перерыва в практике «миллиардного повторения» аксиом. А для этого надо допустить возможность иных аксиом, иных начал геометрического знания.
  Вспомним первые самостоятельные образы-конструкты детей, созданные на уроках по природоведению в III классе! За три года диалогического обучения дети существенно продвинулись в умении создавать и конденсировать в слове, образе, модели свое видение учебного предмета. Вместе с тем из 52 учащихся 6 совсем не справились с работой, 7 — не сумели грамотно оформить результаты своих поисков. Беседы, проведенные с этой группой учащихся, приводят нас к выводу, что эти дети рассматривают евклидову аксиоматику как единственно возможную. Наиболее интересно позицию этих ребят сформулировала Оксана Шибуняева. Эту реплику мы вынесли в эпиграф.
  Негативный результат выполнения задания Оксаной сопровождается напряженным внутренним диалогом: «Я допускаю, что аксиома может нарушиться». — «Но я же вижу, что она верна!» — «А может быть, я просто мало знаю?» Негативный ответ не воспринимается учащимся как неудача. Скорее речь идет об особой позиции Оксаны, предостерегающей от слишком легкого обращения с основами мироздания. Для того чтобы усомниться в аксиоме, нужен исключительный ум! Отказ от решения проблемы, поставленной учителем, переопределение ее — не каприз или сбой, а сомнение в самой сути задачи. Это сомнение аналогично сомнению Ани Кушнир в самой возможности создания своего понимания мифа и передачи его другим людям (в диалогах о мифах). Дети как бы вступают с учителем в диалог об учебном диалоге, о его возможности, целесообразности, о его границах.
  Серьезной ограниченностью разработок уроков, проведенных на этом этапе, является то, что в процессе обучения моделировался диалог нескольких целостных образов: диалог усваиваемого (евклидового) мира и вновь создаваемых детьми геометрических «миров». В предыдущих же диалогах (о треугольнике Вани Ямпольского, об осях круга) нам удалось удержать спор на более тонком логическом уровне: на уровне преобразования одного понятия (треугольника или круга).
  Геометрические миры в диалоге шестиклассников об аксиомах Евклида были несколько размыты, не сфокусированы в едином понятии. Создается впечатление, что это — два взаимодополняющих момента урока-диалога, представленных пока в нашей работе как разделенные во времени.
  Более тонкая проработка уроков, посвященных введению в предмет геометрии (проработка на уровне диалога понятия с понятием), равно как и более широкая развертка уроков о треугольнике и круге (фокусировка в одном понятии-«перевертыше» целостных геометрических систем, а не только возможности их появления на границе перехода от евклидовой геометрии к проективной и т.п.) — задача дальнейшей работы, в которой мы приглашаем принять участие наших читателей.
  В диалогах по математике вскрылись те же закономерности формирования диалогического мышления, что и на уроках природоведения, литературы, истории, мифологии. Но жестко заданный предметный материал, не терпящий бесплодного фантазирования, подключение четких ограничений на устную и письменную речь (математическая символика), обилие графических моделей и другие особенности математики делают такого рода учебные диалоги своеобразной пробиркой, в которой основные закономерности урока-диалога обнаруживаются с наибольшей выпуклостью, лаконичностью и простотой.