Глава 5 ТРЕУГОЛЬНИК ВАНИ ЯМПОЛЬСКОГО, ИЛИ РЕБЕНОК В УЧЕБНОМ ДИАЛОГЕ

Сознание человека не только отражает объективный мир, но и творит его.
В. И. Ленин

1. ДИАЛОГИЗАЦИЯ ОПРЕДЕЛЕНИЙ

Воображение, не способное выйти за пределы чувственных вещей, не улавливает, что линия может быть треугольником, ...но для разума это нетрудно,
Н. Кузанский

  Все уроки-диалоги, описанные ранее, были проведены или на материале предметов гуманитарного цикла, или на естественнонаучном материале (природоведение), основные проблемы которого были существенно «гуманитаризованы». Возникает вопрос: а возможно ли диалогическое обучение математике, одному из основных школьных предметов, содержание которого как будто исключает возможность диалогизирования?
  В качестве «полигона» нашей работы был выбран фрагмент программы по математике для V класса (тема «Построение треугольников»). Дети, строя различные треугольники «по трем сторонам», несколько раз столкнулись с характерным случаем: отрезки-стороны были подобраны таким образом, что в результате построения «обычного» треугольника не получается, треугольник «вырождается» в отрезок. Программа V класса не предусматривает знакомства с общим определением треугольника, «отсекающего» подобные случаи. Возникает разрыв между интуитивным представлением о треугольнике и практикой построения реальных треугольников, в том числе и «вырожденных» треугольников-отрезков. Этот разрыв порождает вопрос. Итак.
  Ваня Ямпольский: Является ли такая фигура (рис. 2) треугольником?
  Учитель: А как ты получил такую фигуру?
  Ваня: Э-э... Ну, например, так: нарисовал треугольник ABC и точку В стал двигать вниз, к стороне АС, пока не получилось такое... (Ваня сразу задает происхождение своей фигуры не из построения треугольника «по трем сторонам», а из более сложного процесса, из предельного перехода от обычного треугольника к треугольнику-отрезку. Хотя этот процесс куда сложнее, чем классическое построение «по трем сторонам», известное каждому пятикласснику, но Ванин вариант появления «странной фигуры» сразу сближает этот «вырожденный» случай с нормальным и тем самым ставит проблему их разведения или, наоборот, отождествления. Как мы покажем ниже, Ванин ход — это только один из вариантов начала диалога о треугольнике-отрезке.)
  Учитель еще раз повторяет для всех детей построение Вани. Все дети видят, как постепенно точка В приближается к стороне АС и треугольник ABC постепенно сжимается, превращаясь в странную фигуру.
  Учитель: Понятно, как Ваня получил такой странный «треугольник»? А треугольник ли это?
  Юля Богданович: Это не треугольник, так как у него нет углов. Если показать любому человеку эту фигуру, не говоря, что раньше это был треугольник, то он скажет, что это просто отрезок с точками!
  Учитель: Верно ли, что у треугольника Вани нет углов?
  Несколько детей (дополняя друг друга): Углы есть! Первый угол ВАС, он равен нулю, второй угол ВСА — тоже нуль, ну а третий угол — это угол ABC, 180 градусов...
  Учитель: Значит, это все-таки треугольник?
  Аня Дидур: Да, это треугольник. Ведь у этой фигуры все как у треугольника. Даже сумма углов 180 градусов!
  Руслан Дергун: Это не треугольник! У него нельзя найти высоты!
  Учитель: Подумайте, ребята, в самом ли деле здесь нет высот? Давайте построим несколько этапов превращения нормального треугольника в Ванин и посмотрим, что происходит с высотами (рис. 3).
  Ваня: Хорошо видно, что у моего треугольника есть все три высоты. Только они равны нулю по длине, так как все время уменьшаются, когда мы делаем треугольник из нормального.
  Жанна Мельцина: Это — не треугольник!!! У треугольника все высоты пересекаются в одной точке, а у этого — нет!
  Коля Озеров: У него параллельные высоты! Где же их пересечение?
  Учитель: Кажется, ребята правы,.. Точка пересечения высот куда-то исчезла... Но давайте-ка все-таки проверим, что же происходит с этой точкой, когда треугольник превращается?
  Дети: Очень интересно! Точка пересечения О поднимается все выше и выше!
  Коля Озеров: А высоты не просто уменьшаются, а расходятся...
  Дети: ...расходятся и становятся почти-почти параллельными... А точка О уходит все выше и выше...
  Ваня: Если высота, которая опущена на АС, очень-очень маленькая, то высоты пересекаются, ну, очень-очень высоко, ну, на расстоянии 500, 1000, миллион километров...
  Учитель: Так есть ли точка пересечения высот у этого треугольника?
  Дети: Есть! Очень-очень высоко! В бесконечности!!!
  Марина Радченко: Нет... У Ваниного треугольника просто нет этой точки. Нет ее.
  Вита Котлик: Я согласна с Мариной. У очень-очень маленького треугольничка, может быть, и пересекаются высоты. А у Ваниного—нет,
  Марина: Вообще-то я не знаю, треугольник это или мет. Потому что, во-первых, это не треугольник, так как все его высоты не пересекаются; во-вторых, это треугольник, так как у него есть углы.
  Женя Ковалев: Этот треугольник не имеет площади»
  Дети: Площадь есть, то она равна нулю!
  Женя: А разве бывают треугольники с нулевой площадью? Что это за фигура без... то есть с нулевой площадью?
  Саша Ахиезер: Все в мире относительно. А поскольку нет точного, полного и абсолютного определения треугольника, то задача решается так: смотря что взять за определение треугольника...
  Алеша Степановский: Принято считать, что треугольник— это фигура, которая имеет три вершины, не лежащие на одной прямой. Но при большом желании можно считать эту фигуру треугольником, как, например, моя сестра Аня, бывает, говорит: «Давайте зайчика называть львом!»
  (Алеша и Саша скептически относятся к построениям Вани как к «только придуманному», зыбкому, воображаемому миру. Сравним эти реплики с позицией Саши Ахиезера по поводу античной мифологии, которую он будет отстаивать в споре с Зевсом — учителем через год,— они логически сходны. Однако, как и в споре об античности, у Кости Хавина, Вадика Бабырева и других ребят возникают серьезные вопросы, углубляющие поднятую проблему, но не сводящие ее к лингвистическим тонкостям.)
  Сережа Опивалов: А можно вопрос? Ваня построил «треугольник-отрезок» с точкой посредине. Но можно построить «треугольник-отрезок», если взять нормальный прямоугольный треугольник и «подтащить» одну сторону к другой (рис. 4). Как быть с таким «треугольником»?
  Вадик Бабырев: А ведь Сережин треугольник можно построить совсем иначе: взять равнобедренный треугольник и сближать боковые стороны, пока не получится отрезок! Будет ли это тот же треугольник или другой {рис. 5)?
  Костя Хавин: Ну, так можно дойти и до треугольника-веточки», если сближать все вершины, прижимать их друг к другу, А и правда, будет ли такой «треугольник-точка» треугольником? (рис. 6).
  Рассмотрим более детально внутренний диалог, который проходит в сознании ребенка на уроке.
  Все знают, что в обычном, «нормальном» треугольнике вершины не лежат на одной прямой. Но почему? Что если это условие нарушится?
 Рядом с миром привычных геометрических образов выстраивается образ странный,  невозможный, опровергающий или по крайней мере расшатывающий исходные представления о треугольнике (Известный исследователь логики и истории науки И. Лакатос в книге "Доказательство и опровержение" (М. 1967) вводит интересное понятие "монстра" для гипотетических конструкций и образов, которые позволяют "остранить" привычные представления о предмете, ввести в незыблемое некую "щепотку соли" Конечно, научные диалоги, реконструируемые Лакатосом, по своей структуре отличаются от учебных диалогов. Но в учебных диалогах воспроизводятся некоторые характерные особенности диалогов научных, в частности, производство "мыслеобразов-монстров": треугольник-отрезок, пар № 1 и пар № 2, победоносное восстание Спартака и др.). Далее возникает спор двух логик: «успокоенной», логически выверенной математической теории с известными фактами и теоремами (высоты пересекаются в одной точке, сумма углов 180 градусов...) и становящегося индивидуального образа. Этот спор образует «логический нерв» урока.
  — В этом треугольнике нет углов.
  — Почему же? Есть, если изменить понимание углов,
обобщить его.
  — Хорошо, Но у этого треугольника нет площади.
  — Есть, равная, правда, нулю.
  — Не бывает фигур с нулевой площадью.
  —- Это вопрос, нуждающийся в обсуждении. Площадь равна нулю у точки, у отрезка. У этого треугольника тоже нулевая площадь.
  — У этого треугольника нет высот.
  — Почему же? Есть. Только это — бесконечно малые параллельные отрезки.
  — Но эти «высоты» не пересекаются в одной точке!
  — Пересекаются — в бесконечно удаленной точке.
  — А бывают разве точки, находящиеся в бесконечности?
  Странный образ, созданный учеником, определяет, ограничивает безбрежное море диалога в данной, единичной и вполне осязаемой конструкции.
  На уроке-диалоге в развернутой форме воспроизводятся основные логико-психологические особенности диалога как формы мышления, Вот как описывает эти особенности В. С. Библер:
  «—Он (внутренний Собеседник.— С. /С.) совершенно не понимает, о чем идет речь, в чем суть предмета (какого, собственно?)...
  Он, кажется, может быть переубежден, ибо «как же это возможно, такие простые вещи не понять, ведь все так ясно...»
  — Я сам, оказывается, кое-что не понимал — не понимал, как его лучше убедить, не понимал, что именно может быть непонятно...
  — Он все же совершенно непроницаем, у него какая-то совсем иная логика...
  — Впрочем, даже если посмотреть на предмет (?) с логических позиций моего собеседника, то...
  — Да, выходит, что я не понимал, что...» (Библер В. С. Понимание Л. С. Выготским внутренней речи и логика диалога//Методические проблемы психологии личности/Под. ред. Ф. Т. Михайлова.  -М., 1981 - с. 124)
  В этом смысле учебный диалог представляет собой уникальный полигон для исследования процессов диалогического мышления.
  Учитель математики, читая диалог о Ванином треугольнике, может спросить: а где же здесь развитие математического мышления? Попытаемся ответить.
  Обычно на уроках математики у детей формируются два вида логических умений. Во-первых, это умение подчиняться логике теории и выдерживать ее противоречия. Это — умение видеть в сложных математических конструкциях (например, в геометрических задачах) результат последовательного усложнения исходных форм. Во-вторых, это умение представлять результаты теоретического обобщения в виде формализованной модели, в виде цепочки следствий, т. е. умение переходить от единого развивающегося понятия к формализованному тексту и, наоборот, расшифровывать текст через его «динамические характеристики»  (Взаимодействие этих логических культур (теоретического обобщения и формальной дедукции) в процессе обучения ребенка подробнее прослежено в книге: Давыдов В. В, Виды обобщения в обучении. - М. 1972).
  Все это очень важно и нужно ребенку. Но на уроке-диалоге ничего такого в «чистом виде» не происходит. Нет (пока?) поступательного развития некоторой исходной «клеточки» в конкретную целостность учебного предмета. Нет и жесткой цепочки доказательств. Работают какие-то иные логические законы. Развиваются иные стороны математического мышления. Обоснованию подвергается само исходное понятие. И обосновывается оно не цепочкой следствий и не перерастанием в теорию. Оно обосновывается самим собой, углубляется в себя, само себя переформулирует.   Оно   обосновывается   контрпримером-«монстром», выворачивающим исходное определение наизнанку (Логика "ученого незнания", лежащая в основе таких обоснований, разработана в книге: Кузанский Н. Сочинения - М., 1979. - Т. 1. Там же приведены и характерные примеры: треугольник, тождественный прямой, и т. п)
  Образ Вани Ямпольского, развиваясь, доводит логику евклидовой геометрии до последней грани, где обнаруживаются новые начала: начала проективной геометрии.
  На уроке-диалоге центром стал вопрос, заданный Ваней Ямпольским. Вопрос ребенка — это та грань, которая переводит урок-монолог в урок диалогического типа. В. Г. Белинский, характеризуя рефлексивную сущность поэзии Лермонтова, обронил фразу: «Вопрос — вот альфа и омега нашего времени» (Белинский В. Г. Полн. собр. соч. В 13 т. - М. 1954 - Т. 4 - с. 518).
  Задавая вопрос, ребенок делает истину предметом собственной энергичной деятельности, воли. «То, что полагалось существующим само по себе, теперь предполагается, порождается изнутри. Бытие субъективируется, вбирается в человека и отсюда воспроизводится. Но тем самым реальные трудности и проблемы бытия, которые казались вначале живущими вне человека, вне л и легко преодолимыми, стоит мне только начать жить из себя, сознательно, — вдруг всплывают уже изнутри, как собственные затруднения личности и ее мысли (Гачев Г. Д. Содержательность художественных форм. Эпос. Лирика. Театр. - М., 1968 - с. 51).