5. НА ПУТЯХ К ДИАЛОГИЗАЦИИ ОБУЧЕНИЯ
Нужно отметить, что в этой книге описаны только первые шаги по диалогизации школьного преподавания математики. Но уже сейчас видны основные черты такого обучения.
1. На уроках-диалогах математики рассматривается как совокупность точек удивления, в которые, как в «черные дыры», втягивается все, что «до» и «после»: весь известный детям материал — понятия, способы действия, навыки построения, свойства фигур... и весь спектр будущих проблем — проективная геометрия, математический анализ и т. д.
2. Как и при диалогическом преподавании истории, на уроках математики доказательство не снимает исходного удивления и в особых формах (с помощью образов-головоломок, математических «монстров») сохраняет его, сохраняет как уникальное математическое событие, до конца не могущее быть «перетянутым» на берег обычного познания. Вспомним письмо Кантора, доказавшего, что в квадрате ровно столько же точек, сколько и на отрезке: «Я вижу это, но не верю» (См., например: Виленкин Н. Я, В поисках бесконечности – М., 1983 – с. 77, Клайн М. Математика. Утрата определенности – М. 1984 – с. 233). Или другой пример: доказательство (с помощью предельного перехода) того, что Ахиллес догонит черепаху, не снимает мыслительной содержательности возражений Зенона, а только углубляет их. В курсе математики образуются плотные «ядра» удивления и — разрежение между ними. Плотное последовательное изложение, делающее все понятным и до донышка познанным, соседствует рядом с тщательно скрываемыми ныне школьной геометрией, школьной теорией пределов и производных исходными трудностями понятий предела, производной, множества, точки, прямой и других. Трудностями, над которыми бились и бьются математики античности, XVII, XX веков...
Поэтому математические головоломки, курьезы, «монстры»—это не просто продукт индивидуального творчества ребенка, это особые «орудия», аккумулирующие трудности и парадоксальности исходных математических абстракций.
3. Каждое математическое понятие — удивительное, парадоксальное, уникальное — рассматривается как диалог различных исторических способов понимания. Они не навязываются извне, а «всплывают» в учебных диалогах и репликах учителя и учеников. Для того чтобы диалог на уроке был действительно диалогом (т. е. спором различных логик, выходящим на вечные, неразрешимые проблемы бытия), он должен обнаруживать в математическом предмете не только спор разных точек зрения внутри одного знания (знания нового времени, наиболее полно ассимилированного школой), но и, в первую очередь, актуализировать античное, средневековое, современное (характерное для математики XX века) понимание числа, треугольника, круга, бесконечности.
4. Обычно математическое развитие ребенка в начальной и средней школе понимается как переход от эмпирического, ненаучного мышления дошкольника к понятийному, научному, теоретическому мышлению ученика школы. Мир дошкольника — это мир разнокачественных предметов, каждый из которых тождествен сам себе. Это — мир индивидуальных вещей, каждая из которых самоценна и, как сказал бы Древний Грек, не может быть сравнима с другой индивидуально неповторимой вещью, так как в себе самой несет свою собственную меру. Этому особому миру дошкольника соответствует психологический мир феноменов Пиаже, в котором слово «удав» длиннее, чем слово «червячок», а шарик из пластилина меньше, чем вылепленная из такого же количества пластилина полоска...
Мир школьника — это мир эталонов, признаков, мерок. Мир, в котором преодолеваются феномены Пиаже, ибо слово «удав», конечно же, короче, так как в нем меньше знаков, а величины сравниваются не на глаз, а приведением к одинаковым меркам.
Должен ли мир дошкольника полностью «сниматься» миром школьника, миром ученика? И если нет, то в каких формах в познании школьника может удерживаться дошкольное сознание?
Нам думается, что возможная в учебном диалоге актуализация античного видения предмета как особой, тождественной себе, эстетически значимой, неповторимой внутренней формы не только тормозит и проблематизирует видение мира как предмета познания в эпоху нового времени, но и своеобразно воспроизводит в школьном обучении ситуацию дошкольного отношения к миру («Я умею измерять, но вижу вещь целостно»)» В частности, при обучении математическим абстракциям (числу, фигуре, множеству) необходимо помнить, что переход от дошкольного видения целостных вещей к отделению от вещи ее величины для изучения величин в «чистом виде» есть отнюдь не переход к теоретическому мышлению как таковому. Это — переход к особому типу мышления нового времени. Здесь проблема освоения мира подменяется задачей присвоения только одной его фиксации, одного видения мира (мир как предмет измерения).
При сведении обучения к присвоению только данной модели мира (обучение как «восхождение от абстрактного к конкретному») происходит примерно следующее. Начинают с проблемы восстановления целостной формы; поломался мостик, по которому двигались игрушечные машинки. Как его восстановить? Затем проблема восстановления и построения вот этой целостной, единичной формы подменяется задачей выделения параметров вещей (величин) и оперированием с ними. От целостной вещи отделяется величина и моделируется отрезком длины (идея количества как пространственно-временного качества), к индивидуальности предмета уже не возвращаются (См. Давыдов В. В. Проблемы развивающего обучения. – М., 1986 – с. 179)
Вместе с тем видение вещи как целостной, невозможность сравнения индивидуально-неповторимых предметов по абстрактно выделенным параметрам, невозможность рассматривать число только как средство измерения величин (три яблока все же чем-то очень важным отличаются от трех половинок яблока, и шесть елочек очень трудно охарактеризовать числом «три», даже если в качестве мерки выбрать две елочки!) постоянно прорываются в мышлении школьников. Почему? Почему даже пятикласснику трудно порой окончательно отождествить дробь «три третьих» (полученную путем раздробления исходной меры на три равные доли и взятии трех долей) и натуральное число «один»? Почему нет-нет да мелькнет в методических статьях отголосок старого спора об «относительных» числах и нетождественности числа 1 числу +1? (Из самых последних работ назовем статью: Бархаев Ю. П.., Захарова А. М. Выделение предметной области теории как предпосылка содержательного обобщения (на материале числовых систем)// Вестник Харьковского университета. - № 200; Психология памяти и обучения – Харьков, 1980 – с. 48-54, в которой убедительно показывается нетождественность учебных действий, приводящих школьников к понятию скалярной и направленной величины).
Как ни сильна в школьном обучении тенденция сведения всех форм числа к одной — отношению величин, к числу как к абстрактному средству измерения, построение школьного курса математики, ориентированного на понимание числа в духе нового времени, сталкивается с большими психологическими трудностями.
На наш взгляд, эти трудности связаны в первую очередь с тем, что в современном (научном) понимании числа присутствуют по крайней мере несколько различных и несводимых друг к другу определений.
Первое. Число как средство воспроизведения величин, как результат измерения, нанесения «ран» на непрерывные величины. Число как результат снятия непрерывного в дискретном, замены непрерывной величины набором отдельных меток, каждая из которых означает однократное применение, откладывание стандартной меры. Число как указатель, показывающий, какие преобразования надо произвести со стандартной мерой, чтобы получить нужную величину (повторить несколько раз — натуральное число; раздробить на несколько равных долей и взять столько-то долей — дробь; изменить направление на противоположное и повторить нужное число раз — целое отрицательное число; повернуть на определенный угол и повторить нужное количество раз — комплексное число (См. Боданской Ф. Г., Курганов С. Ю., Фещенко Т. И. Формирование всеобщего способа действия как психологическая предпосылка организации учебной деятельности при расширении изучаемой числовой области// Вестник Харьковского университета - № 155; Психология. – Харьков, 1977, - с. 54-58). Натуральное число, дробь, отрицательное число, комплексное число как бы надстраиваются друг над другом так, что каждое числовое множество «снимается» в более широком классе чисел, легко отождествляясь с его подмножеством: три елочки, три килограмма, три шага в заданном направлении — суть одно и то же «три»: ведь надо три раза повторить данную меру — скалярную или направленную, меру массы или длины.
Второе, Число как предмет «умного» всматривания, как тождественная самой себе внутренняя форма. Число как некое индивидуальное тело. Каждое тело измеряется своей собственной мерой. Здесь невозможны стандартные меры (См. Ахутин А. В. История принципов физического эксперимента (от античности до XVII в.) – М. 1976 – с. 38 и др.). Число не есть отношение величин, а есть неотделимое от данного образа (эйдоса) отношение целой вещи к своим частям, образующим гармоническую структуру. Каждая вещь имеет свою «единицу», и эти единицы различны и не могут быть сведены к единой. Каждый вид чисел не может быть сведен друг к другу или выведен из другого. Натуральные числа образуют особый класс чисел и, строго говоря, не являются подмножеством рациональных чисел. Это — числа особой природы. Более того, сами натуральные числа отнюдь не являются просто результатом повторения исходной единицы (числа «один») и отнюдь не представляют собой множество абстрактных, качественно тождественных меток, точек на прямой и т. п. Каждое натуральное число имеет свою внутреннюю форму, передаваемую особой фигурой («фигурные числа»). Числа, получаемые путем пересчета отдельностей, а числа, которые получаются из измерения величин, — принципиально различны.
Так называемое «школьное» понимание числа затушевывает эту исходную содержательную диалогичность современного математического знания и поэтому рассматривает трудности «протаскивания» ребенка через нововременные представления о числе, реальное сопротивление мышления ребенка этому «протаскиванию» как частные, связанные с несовершенством методики преподавания. Представляется, что упорное нежелание ребенка отказаться от восприятия «по Пиаже» и до конца, сжигая за собой все мосты, перейти на нововрёменные позиции коренится гораздо глубже. Интуитивно удерживая в себе дошкольника, ребенок, сопротивляясь нововрёменному знанию, вытесняющему (вспомним это важное понятие Пиаже) дошкольное видение, на самом деле приближается к современному научному знанию, к знанию XX века, в котором понятие числа, например, формируется на границе конструктивистской, интуитивистской, формалистской математики, в споре различных школ и «математик», в неустранимом диалоге взаимодополнительных видений числа: число как объект счета — и как предмет интуитивного всматривания, понимания; натуральное число как рядоположенное другим числовым множеством — и как особое, «нерукотворное» явление, объект особой природы (См. Клайн М. Математика. Утрата определенности. – М., 1984 – т. 2 – с. 269) ...
Делая остановку в таких «точках удивления», на которых спотыкается логика восхождения, стремящаяся уложить мышление в прокрустово ложе единственной логики — логики нового времени, учебный диалог делает явным для учителя и ребенка те иные возможности понимания математики и мира в целом, с которыми метод «восхождения» тайно борется. Если обучение по типу «восхождения» рассматривает не укладывающиеся в его рамки формы детского разумения как то, что должно быть преодолено, вытеснено, преобразовано («Знание их нужно, как знание врагов» (Выготский Л. С, Собр. Соч. – М. 1952 – Т. 2 – с. 198)), то учебный диалог вскрывает в борении ученика и учебного предмета внутренний, глубинный спор двух, по крайней мере, логик: логики нового времени и логики античного мышления. Стратегия поведения учителя на таких уроках состоит в рассмотрении этих логических подходов как одновременных и взаимодополнительных, не снимающих друг друга в некоторой единой понятийной системе (В связи с этим см. о соотношении «лево-» и «правополушарной» логики в книге «Ротенберг В. С., Бондаренко С. М. Мозг. Обучение. Здоровье. – М. 1989). Не идея обобщения, а идея общения пронизывает уроки-диалоги. Точно так же и идея общения разных «математик» пронизывает современное математическое мышление, в отличие от мышления нового времени, стремившегося создать единую теорию, «обобщив» все факты, добытые в античности, средневековье и т. д.
