2. УРОК-МИТИНГ, УРОК-СОЧИНЕНИЕ...

Ученик Гамма: Я думаю, что если мы хотим изучить что-нибудь действительно глубоко, то нам нужно исследовать это не в его «нормальном», правильном, обычном виде, но в его критическом положении, в лихорадке и страсти...
И. Лакатос

  Описанный выше диалог о треугольнике проходил в спокойной атмосфере «ученого спора» класса с Ваней Ямпольским. Такая форма общения, однако, далеко не единственно возможная. Рассмотрим и другие формы урока-диалога, которые могут возникнуть при изучении этой темы.
  В одном из пятых классов средней школы № 142 г. Харькова инициативу сразу захватил авторитетный мальчик Гена Коваленко, который очень убедительно «доказал», что данная фигура — треугольник с тремя углами: 0°, 0°, 180°, с тремя сторонами.
  Оля Рыбалко и Лилия Золотарева, с трудом преодолевая недовольный гул мальчиков, робко возражают:
  — Ну, это все-таки линия, отрезок с точками...
  Мальчики: А пусть они докажут, что это не треугольник!
  Лилия: Я сейчас не знают, почему это не треугольник. Но я подумаю, и завтра мы посмотрим. Я думаю, что докажу, что это не треугольник.
  Оля сначала сдалась, а потом тоже сказала, что подумает.
  Мальчики: А зачем думать? Ведь Гена так ясно доказал, что это — треугольник!
  На следующем уроке от имени девочек выступила Оля:
  — Если чуть приподнять стороны вашего «треугольника» ABC, то они не сойдутся!   (рис. У). Значит, это — не треугольник!
      Мальчики: А не надо приподнимать!!!
  Олег Сапельников: Но и в обычном треугольнике происходит то же самое (рис. 8). Значит, то, что сказала Оля, скорее доказывает, что это — треугольник, то есть правоту мальчиков.
  Лилия: Мы видим, что у всех нормальных треугольников сумма двух сторон больше третьей. А у нашей фигуры сумма двух сторон равна третьей. Значит, это не треугольник.
  Мальчики в замешательстве.
  Девочки: Пусть теперь они докажут, что это — треугольник.
  Мальчики (спокойно): Мы подумаем дома, завтра договорим. Пока мы не знаем.
  Этот урок, как видим, сильно отличается от предшествующего. Там — тихая беседа мальчиков и девочек, каждый из которых говорит от своего имени. Здесь — бурный митинг, жесткая борьба двух «партий» — мальчиков и девочек. Каждая реплика — это слово «лидера» партии, подкрепляемое одобрением «своих» и гулом неодобрения противников.  И здесь и там урок начинают сами дети, и он проходит практически без вмешательства учителя.
  Циркулем и линейкой дети строили треугольники. Заранее не было известно, будет ли иметь решение задача или нет. И вдруг дело застопорилось. Получилось нечто странное. Обычно эта странность отбрасывалась репликой учителя: «Дети, это — не треугольник». Но учитель молчит. Возникает загадка: «И треугольник, и отрезок. Что такое?» Урок-митинг, поляризовав класс, удерживает эту загадочность, парадоксальность геометрического образа. Удерживает противоречие как упрямое, неснимаемое. Упрямство противоречия поддерживается упорством сторон (мальчиков и девочек). Учитель должен быть готовым к проведению различных типов диалогов: от спокойного обсуждения до бурного митинга.
  В другом пятом классе урок проходил совсем по-другому. Ребята в самом деле испугались треугольника-«монстра», попытались, как нам вначале показалось, уйти от противоречия с помощью словесных приемов:
  — Это — прямолинейный треугольник.
  — Это — плоский треугольник.
  Казалось, для большинства детей нет проблемы. Что-то непонятное получилось в ходе построений, его надо как-то назвать. И все.
  Однако дальнейший анализ показал, что попытка удержать противоречие не в бурном споре с другим, а в противоречивом слове является чрезвычайно продуктивной и' внутренне диалогичной. Но для того чтобы «проявить» этот диалог, нужно было искать иные формы урока. Здесь не годился внешний диалог. Тогда учитель предложил пятиклассникам дома описать, что произошло на уроке. Формой детских размышлений явились математические сочинения. Приведем некоторые из них.
  «Это — загадочный треугольник. Это треугольник, но показан только его верх. Вот как обыкновенный треугольник превращается в нашу фигуру (рис, 9)».
  «Эта фигура — треугольник. Для доказательства возьмем зеркало и треугольник. Будем поворачивать треугольник так, чтобы отражение в зеркале стало прямой линией. Это и есть проекция треугольника в виде прямой линии» (Галущенко Алексей).
  «У нас начался урок. Тема — «Построение треугольников». И вдруг получилось вот что (рисунок). Что же это такое? Это что-то вроде треугольника и отрезка!» — говорит Чернов. Тут— тишина. Вдруг поднялась Ключкова и говорит: «А давайте увеличим чуть-чуть сторону, и тогда получится обычный треугольник». Но почему не получился треугольник с предыдущими данными? Какой прок переворачивать фигуры? Ведь круг — это не треугольник, но если посмотреть на круг сбоку (рисунок), то получится... прямоугольник?!» (Зайцев Андрей).
  «Идея Чернова — это воображение. Потому что это может быть не только треугольником, но и авторучкой, а авторучку как ни крути, а она треугольником не станет (рис. 10)» (Феофанов Гена).
   Дети впервые получили возможность работать наедине с листом бумаги, вести диалог с самыми собой. Оказалось, что ребята способны в своих сочинениях удерживать многоголосицу урока, разделять свои голоса и чужие, уважительно представлять чужие голоса, не навязывать оппонентам свою логику.
  Многие подчеркивают странность ситуации, возникшей на уроке, ее загадочность: «странная фигура», «загадочный треугольник», «если не треугольник, то что это?». Даже те ребята, которым, кажется, все ясно, подчеркивают исходную проблемность, неокончательность ситуации. «Тут — тишина», — замечает маленький Гамлет — пятиклассник Андрюша Зайцев.
  Еще в одном пятом классе урок о треугольнике породил бурные споры. Учитель предложил ребятам рассказать об этих спорах в математических сочинениях,
Рассказывает Сережа Салов:
  «Наш учитель Сергей Юрьевич задал вопрос: треугольник это или нет?
  ЛБ = 6 см, БС = 4 см, АС = 2 см.
  И тут завязался спор. С самого начала Дима Овчинников сказал, что это — треугольник-отрезок. Затем я сказал, что это необычный треугольник, Просто раньше мы таких не строили. Вова Кандыба (он очень любит парадоксы на уроках) опроверг наши мнения. Он говорит: «Это не треугольник. Так как само слово «треугольник» говорит — три угла. А тут?» Но Сергей Юрьевич показал, что тут есть три угла. Затем Вова Кандыба сказал: «Если МЬ1 проводим рукой по плоскости, то мы лишь ощущаем Ровную поверхность. А у треугольника есть углы, и они колются! А как же тут они будут колоться?» (рис. 11).
  Илона Нищета сказала, что между простым треугольником и нашим есть какая-то связь. И Илона показала, какая именно (рис. 12).
  Но придя домой, я понял, что это не треугольник. Ведь треугольник можно построить, если длина большей стороны меньше суммы двух других сторон».
  Из рассказа Олега Гусева:
  «...Вова Кандыба говорил, что на любой стене есть углы, и мы можем их почувствовать, мы их почувствуем, я не отрицаю. Дальше он говорит, что, проводя по стенке рукой, мы не чувствуем угла С, который равен 180°. Вова прав, я за него.
  Теперь — мое утверждение, что это — отрезок. У каждого есть деревянный треугольник и линейка. Но на плоскую линейку, ручку, карандаш, ветку дерева мы не скажем, что это треугольник и что мы его получили способом Илоны!»
  Из рассказа Сережи Поливанного: «...Постепенно спор о том, треугольник это или нет, перешел в спор, как произошла эта фигура... Гусев говорил, что линейка и треугольник — разные вещи».
  Возражения Саши Мирошко: «Да, я с ним согласен, но если посмотреть на эти два предмета вот таким образом (рис. 13), то они кажутся совсем одинаковыми, и мы бы их не различили, если бы не было надписей».
  Сомнения Лены Бобро: «Мои одноклассники спорили, треугольник ли это. Я сомневаюсь. Но я думаю, что это называть треугольником просто смешно. Но вообще-то может быть, что и так и так — правильно. Но, скорее всего, что это не треугольник. Таково мое мнение».
  Интересен ритмический рисунок многих детских текстов. Первая часть урока обычно характеризуется плавными, округлыми выражениями, подчеркивающими внеличностность, пассивность восприятия знаний: «Нам надо было начертить...», «К доске вышел отвечающий...», «У нас начался урок». Вторая, дискуссионная часть характеризуется резкими, бурными выражениями, подчеркивающими смену ритма: «Вдруг получилось...», «Вдруг поднялось...», «Кожин Алеша встал и говорит...». Дети обращают внимание на личностность урока в его диалогической части. «Я думаю», «Мое мнение», «Идея Чернова - воображение», «Вова прав, я за него» — характерные фразы этой части сочинения.
  Дети четко выражают переход от надоевшего урока-монолога к иному типу урока, на котором не просто «нам сказали — мы начертили», «нас вызывали — мы отвечали». К уроку, на котором реально существуют «я» и «ты» и «мое мнение» и «воображение» моего товарища Чернова. К уроку-диалогу, на котором напряженная тишина «вдруг»    Взрывается идеей Лены Ключковой, и все начинается сначала.
  Прием «сочинение по математике» понравился учителю и ребятам. Сочинение позволяет как бы дважды прокрутить в своем сознании урок: вначале как реальный спор, «митинг», а затем — как внутренний спор, удержанный в тексте и — неснимаемый в нем.
  Свое сочинение Сережа Салов заканчивает словами, в которых выражена, как нам кажется, самая суть позиции ученика на уроке-диалоге: «В этих спорах я научился добросовестно трудиться. То есть: достать нужные книги, найти в них нужный материал и скорректировать ответ. Учил¬ся отстаивать свою точку зрения».
  Эта реплика Сережи имеет и важный логический аспект.
  Выстраивая свои образы треугольника, учащиеся разных школ и разных классов актуализируют в них различные формы видения математического объекта. На уроке сталкиваются не просто «мнения» Алеши, Вовы, Вани: в их голосах «всплывают» голоса античных, средневековых, нововременных собеседников.
Античный способ мышления представлен на уроках репликами детей, не согласных с тем, что данная фигура — треугольник, так как она не имеет характерной треугольной формы. Как мог бы сказать Древний Грек, она лишена эйдоса, внутреннего образа треугольника. В ней нет настоящих вершин, настоящих углов (как определенных углов зрения, под которыми каждая сторона видна из противолежащей вершины), настоящих сторон (две его вершины нельзя соединить непрерывной прямой линией). Ребята отказываются признать данную фигуру треугольником не в силу того, что ее свойства противоречат тем или иным правилам или определениям, а в силу того, что по разным причинам не видят в этом «треугольнике» треугольной формы.
  Способ разумения, схожий со средневековым, представлен на уроках по крайней мере в двух взаимодополнительных ипостасях: предмет (треугольник) как рукотворная вещь — и предмет как слово.
  Угол треугольника (треугольника) только тогда для меня становится углом, мог бы сказать средневековый мастер, когда я его могу ощупать рукой, воспроизвести движением кисти, понять как продолжение моей руки, как мое умение (то, что есть у меня и от меня неотделимо).
  Но, с другой стороны, понять новую, необычную, странную, рукотворную вещь (скажем, треугольник, построенный циркулем и линейкой, по трем сторонам, сумма двух из которых равна третьей) можно лишь как причастную
к слову. Возникает проблема называния (но совсем не в смысле определения, перечисляющего формальные признаки!) как нахождения слова, приоткрывающего загадку вещи и удерживающего вещь как загадку (загадочный треугольник, прямолинейный треугольник, раскрученный треугольник...).
  Пятиклассница Оксана Омельченко пишет: «Это может быть развернутый треугольник, у него данные обычного треугольника, но он раскрывался постепенно, и вскоре вообще раскрылся, и получился развернутый треугольник! Это может быть треугольник раскрученный, если вырезать треугольник, а потом — круть его в руках и остановиться на этом, а потом срисовать».
  В слове дети стараются удержать свои действия, производящие данную фигуру, как действия мастера, своими руками, вот здесь, вот сейчас «круть» — и изготовляющего странную фигуру...
  Знание Нового времени удерживается, во-первых, в доведении Ваней Ямпольским и другими его одноклассниками определенной, конечной, «эйдетически завершенной», рукотворной треугольной формы («нормального» треугольника ABC) до парадоксальных бесконечных форм, невозможных с точки зрения здравого видения, не могущих быть реально изготовленными (треугольник-отрезок, у которого высоты — бесконечно малые параллельные отрезки, пересекающиеся в бесконечно удаленной точке). Как мы уже отмечали, такой тип понимания характерен для философии Николая Кузанского, «изобретавшего» начала мышления нового времени.
Во-вторых, логика этого времени представлена на уроках не только в своих изначальных, но и в развитых формах. Дети отождествляют «странную» фигуру с треугольником, так как ее основные свойства могут выражаться теми же формулами, что и свойства обычного треугольника (сумма углов 180°), или, наоборот, не считают эту фигуру треугольником, так как ее свойства не отвечают другой формуле (сумма двух сторон не больше третьей). С этой точки зрения понять треугольник — это значит познать его свойства и выразить их в виде общего закона, формулы.
  Наконец, в-третьих, Саша Ахиезер и Алеша Степановский сводят решение проблемы треугольника к его формальному определению, не заботясь о том, соответствует ли этому определению та или иная вещь — чувственно воспринимаемая, или могущая быть изготовленной, или способная быть доведенной до бесконечных форм. Это — позиция, характерная для формалистических поисков в математике конца XIX — начала XX века.
  Напряженность диалога, его неразрешимость в пользу одной из «абсолютно правильных» позиций поддерживается на уроке тем, что решение учебной проблемы доводится 1 до диалога логик и культур мышления, в котором каждая культура (античность, средневековье, Возрождение, новое время, XX век) имеет неисчерпаемые резервы развития в споре и согласии с иными формами разумения. Проблематичным является здесь само содержание учебного предмета, само развитие математического понятия, а не только путь к нему. И в этом — принципиальное отличие урока-диалога от внешне сходных с ним форм обучения  (проблемное обучение, «восхождение от абстрактного к конкретному» и др.).