Теперь ещё один пример включения в язык жизни количественных числительных. Опираясь на знание детьми домашней географии - названий улиц, домов, этажей и квартир, мы предложили им работать с таблицей «Улица домов (для чисел)», т.е. с указаниями номеров квартир на каждом этаже.

 

Всего было 27 домов по обе стороны дороги (13+14). Первый дом имел номер «5», а последний - «31». Дом 31-й имел 16 этажей и 32 квартиры от 0 до 31-й. Дом 5-й имел 3 этажа и 6 квартир, начиная с нуля. Кроме № 5 перед домом (в плане - под ним) была дана буква «Ц» как второе его имя. У дома 31 имелась буква «Х» (ха). Каждый дом имел и буквенное обозначение. Это позволяло определять своё месторасположение, двигаясь по улице, а также задавать вопросы прохожему и жителю улицы.

Например. «Гуляя, ты прошел до дома 17 «а», а потом прошел в другой конец до дома № 6 «ш». Сколько домов ты разглядел, если ты живешь в доме 10 «п»? Ответ можно найти пересчётом и записать его, как было сказано, формулой: 10 п + 17 а - 6 ш. Всего: 7 + 11, т.е. 18 домов.

Если считать по формуле, то тоже верно (повторный счёт). Знаки «+» и «-» указывают направление ходьбы: туда, где нумерация больше, нужен «+», а где меньше, то «-». Началась попарная игра в такие «загадки», в которой дети определили свои возможности в счёте.

 

Кто-то сделал ограничения до нумерации от 12 до 5, а кто-то пошёл на другую сторону улицы и создал свою формулу: 22 б - 18 я + 31 х.

Так осуществлялась математизация речи и в записи, и в чтении, и в счёте. У учителя оказалось возможность наблюдать за детьми: видеть их, слышать и переспрашивать.

Потом каждая пара говорила всем о своих выборах и результатах, кто-то занимался только пересчётом и не писал формул, а кто-то писал и высчитывал. Никто не путал «знаки ходьбы».

Так для себя дети раскрыли свои возможности в счёте. Учитель, слушая речи, мог её уточнять по верности произношения количественных числительных с предлогом и без предлога.

Данная таблица стала инструментом в счёте для каждого ученика. Потом стало возможным придумывать вопросы и загадывать устно «пример», зная уже ответы. Конечно, в речь детей вошли и общие имена (чётный номер дома, нечётный номер дома) и общее новое имя «количественные числа».

 

Опытный педагог заметил, что описан конечный результат всей работы. Начало её - в понимании слов «больше по номеру дома». Приведем вариант того, как может идти разговор на занятии.

 

Дома стоят по разные стороны улицы. На рисунке левый край ближе к дому №5, а за ним все другие до №17. Идём слева направо.

 

Новость для детей. Указательный палец левой руки сгибается, подгибается и образует «угол сгиба», конец указательного пальца и указывает на следующий номер дома - 7, располагаясь на месте дома №6.

Как видно по рисунку, у этого дома на крыше нет знака - номера, там 3/3 под крышей, обозначенной штрихами. Так же отмечены и все другие чётные дома. Очевидно, что идущий видит номера нечётных домов, двигаясь вправо к цифре, которая указывает «на большее».

 

Тут срабатывает аналогия. Ребёнку не четыре и не пять лет, а больше. Он в этом уверен. Видя цифру 7, он читает её как большую, чем 5. Пять было - семь будет. Этот ход от пяти к семи дети понимают как скок-перескок-проход от края дома №5 к левому краю (углу) дома №7. Проехали - прошли один дом, значит, один «скок». Кто наблюдал и умеет скакать в «домиках» на асфальте, увидит в такой работе свою игру. Поэтому из разных слов дети часто выбирают «скок» - и записывают «ск»-«ск». Вся запись: №5+1ск → №7. Она читается: скок к дому с большим номером.

 

Вопрос по делу: вдоль какого дома был скок-проскок? Между 5-м и 7-м должен быть 6-й. Ищем подтверждение: две тройки на месте дома «между» - это «6», но только не написано. Ответ по делу: Мы проскочили вдоль дома №6 вправо к дому №7. Есть стены и углы у дома №6? - Нет их. Нарисуем? - Да. А номер поставим? - решают, что все умеют считать, им уже шесть лет, а тут по-особому написано 6, т.е. 3+3 - это 6. Это все знают. И писать не будет.

 

Как рисуем стены? Далеко или близко к другим стенам? - «Чтобы дома были одинаковы, рисуем близко, очень близко, стену вдоль стены». - Тогда рисуйте цветным карандашом и стену, и крышу. И дверь в дом - дверь подъезда к дому, вход в дом. О каком числе-номере мы договорились? - О 6-ти. - Как ещё можно назвать? - Чётный номер.

 

Каждый возьмёт три карандаша разного цвета и нарисует стены чётных домов с чётными номерами (ожидаем повтора в порядке цветов). Сверяем работы детей. Обсчитываем - шесть домов с чётными номерами и семь с нечётными. Сколько домов на левой стороне улицы? - 13.

 

Переходим на правую сторону. Двигаемся справа налево. Приготовили указательный палец правой руки, чуть согнув его. Указываем на первый дом. Над ним буква «я». Какой номер дома? - Чётный номер. Там два раза 9. - А потом? - Нечётный - 19. - Нарисуем стены? Если дома стоят рядом, как их называют? - «Соседние». - Когда дома стоят очень близко, их называют «смежными». Очень близко сдвигаются веки глаз. Говорят: «Смежить веки». Попробуйте смежить веки. - Что почувствовали? (тёмно-светло, не очень светло, чуть видно и т.д.)

 

Сколько домов с чётными номерами? - Семь. - А нечётных номеров сколько? - Семь.

 

А буквы как стоят? - Парами. Пара гласных и пара согласных. А «ха» - непарная. - Буквы стоят по порядку, как в алфавите? - Нет. - И каких букв нет? - Л, М, Н, Р и двух знаков. - А что скажете о местах расположения согласных букв? - Они на картине «Аквариум» написаны на одной горизонтали, а другие врассыпную.

 

Сколько пятерок спрятано в числе 15? - Три. А в другом? - три пятерки. А всего? - 6. А в доме напротив? - одна. А всего? - 7. А номер дома с буквой «Ч» какой? - 30. А сколько квартир в этом доме? - 30 квартир. Сколько в нем этажей? - 15. Сколько этажей с чётными номерами квартир? - 7.

 

Итак, мы идем справа в левую сторону по новой (другой) стороне улицы. В конце улицы на этой стороны какие номера домов стоят? - Большие: 29, 31. Ещё 25, 23! Это в середине улицы. Если мы идем влево, за нами какие номера домов останутся? - 19, 21. - Как вы думаете, эти номера меньше, чем те, которые перед нами? - Да. 21 меньше, чем 31. - Если мы поедем от дома с буквой Я до дома с буквой Й, то сколько домов надо пройти или проскочить на машине, когда быстро едешь? - 10, 9, 11. Мы договорились, от какого угла дома будем считать? - Нет. - Договоритесь. - От правого угла дома Я. - Все запомнили? А куда придем? - К левому углу дома Й, перед углом дома Ж. - И вдоль какого числа домов проедем? - (счёт) - 11.

 

Теперь, когда все согласились, что ехали вместе, запишем нашу поездку. Или сделаем ещё одну поездку от дома Х? Небольшую. Кто расскажет? - От правого угла дома Х доедем или дойдем до левого угла дома Ж. - Указательным пальцем правой руки покажите друг другу, сколько домов вы прошли? - Два.

 

Запишем. №31-2ск → №Ж. Мы так написали? - Нет. Мы писали «+» - плюс, а сейчас «-» - минус. - Какой номер у дома Ж? - №29. Подпишем снизу: №31-2 → №29. Что нового? - Слева большой номер, а справа меньший. - Ещё что нового? - Знак минус. Он обозначает, что номера всегда уменьшаются, если здесь едешь вправо. Косточка пальца показывает номера, которые все меньше и меньше. А если перейдешь на другую сторону улицы? - Тогда другой палец будет показывать, что влево номера меньше.

 

Если мы пойдем по стороне с большими номерами домов справа налево? Сколько домов пройдем от дома Ю до левого угла дома В? Если идти от правого угла дома Ю, от стены дома З, то мы пройдем 7 домов.

Запишем.

№20+7ск → №27 (В или О?)

№20+7ск → №... .../27/

№20+1ск → №21; №21+1ск → №22; №22+1ск → №23; №23+1ск → №24; №24+1ск → №25; №25+1ск → №26; №26+1ск → №27.

 

Новая прогулка. От правого угла дома С (№20) за 7 проходов (проскоков) до левого угла дома П. Запишем: №8+8-7ск → №... /9/

№8+8-1ск → №15; №15-1ск → №14; №14-1ск → №13; №13-1ск → №12; №12-1ск → №11;
№11-1ск → №10; №10-1ск → №9

 

Пересказ пошаговых действий детям седьмого года жизни вполне доступен. Сокращение записи придает ей обычный вид:

31-2 → 29                       5+1 → 6                     №10 ± 5 → ...

20+7 → 27                      16-7 → 9                    Вернулись домой.

 

Занимаясь оречевлением пересчёта (или математизацией речи), дети освоили достоверность называния чисел при обговоренных условиях: количество шагов от места до места. Имя, не имеющее места своего приложения, остается пустым звуком, а имеющее - символом числа, смыслом в избранной структуре, описывающей действия (перемещения) людей или вещей. Возрождается идея чисел количественных и порядковых.

 

В математике устанавливается идея ряда чисел. Это и не порядковость, и не количественность. Это - и то, и другое. Это также и различение чётности и нечётности, и их взаимосвязи.

 

Мы можем обнаружить существование идеи ряда и на модели «улица домов» в каждом её доме. В каждом доме есть лифт. Он останавливается внизу так, что в окне лифта можно увидеть цифры с 1-го и 2-го этажей по левую и по правую стороны. Можно наблюдать движение лифта в домах и с чётным, и с нечётным номером. Окошко лифта - это прямоугольный вырез в бумажной полосе, который охватывает четыре цифры. Лифт сдвигается левой рукой, а правая записывает цифры особым образом - наискосок два раза: вправо вверх и влево вниз. Изберем дом №23Г и дом №22Э.

 

На схеме-модели нумерации дома №23 читаем на 1-м этаже цифры 23 и 0, по левой и правой стороне в доме, а цифры 21 и 2 соответственно на 2-м этаже. Записываем

  

21	2
23	0

 

а потом наискось 23-2 и 21-0. Знак минус показывает, что возможно из большего вычесть меньшее, а именно 23 без двух - это 21, а 21 без нуля - это 21. Общая запись: 21=23-2=21-0. Появляется новый знак «=». Он указывает на равенство двух записей «наискосок» при вычитании чисел. Дети отмечают, что им понятна эта запись даже тогда, когда не будет записано первое число 21=23-2=21-0. Один знак = указывает, что были две линии наискось и было вычитание, а получилось число, которое читается одинаково один раз, а может быть записано два раза. Чтобы запись была проще, можно не писать 21, а говорить «21» два раза и повтор записать знаком = и читать его «это то же» и «равно».

В чётном доме №22 лифт стоит так, чтобы были видны цифры последнего этажа и предпоследнего. Запишем их в том порядке, как они стоят и видны в окошке лифта:

 

 

Затем запишем их наискось: 11-1 и 21-11. Понимаем, что «11 без 1 - это 10», а 21 без 11 - это тоже десять. Общая запись 10=11-1=21-11. И ещё проще: 11-1=21-11. Слева от знака = «то же равно» мы читаем «10» и справа от знака = мы читаем «10». По-другому: левое «10» - это то же, что правое «10». Вместо слов мы пишем два одинаковых числа и знак «равно»: 10=10. А можем так: 11-1=21-11=10=10. Здесь записано, что мы умеем считать и читать и не путаться.

 

Пусть лифт идёт вниз в доме №22 до следующего этажа. Он остановился так:

 

 

Запишем наискосок: 20-1=21-2. Теперь проще: 19=19. Или так, чтобы было видно другим, где стоял лифт, то есть первую запись 20-1=21-2. Всем детям понятно, почему стоит знак «равно». Здесь загадочно записано одно число 19 два раза. Это загадка для тех, кто не умеет считать.

Опустим лифт на один этаж.

 

 

Это означает, что со 2-й остановки мы переехали на 3-ю остановку-этаж; а правильнее говорить: «третий раз остановился лифт». Запишем наискосок: 19-2=20-3. Здесь надо считать в обратном порядке 20→19→18→17. Запишем: 19-2=20-3=17. Это новая загадка для тех, кто не умеет считать и читать.

 

Посмотрим, как движется лифт в доме 23. Он стоял на 1-ом этаже. И мы сделали общий подсчёт и снизу вверх, и сверху вниз. Получилось число 21. Лифт поднимается на 2-й этаж, а 1-го этажа не видно, но виден 3-й этаж:

 

 

и 2-й. Пишем наискось: слева вниз и слева вверх: 19-2=21-4. Считаем 19→18→17=17. Получили 17=17. Поднимаем лифт 3-й раз, чтобы не был виден 2-й этаж, а только 3-й и 4-й этажи:

 

 

Запишем: 17-4=17→16→15→14→13=13. 19-6=19→18→17→16→15→14→13=13. Снова тринадцать равно тринадцать. Теперь за три подъема у нас такие записи: 21; 17 и 13. Смотрим на схеме по этажам: 21-4=17. 17-4=13. А потом? На один этаж с 4-го на 5-й?

 

 

Здесь видно, что по левой стороне №17 на 2 единицы больше 15-ти, а справа - 6 на две единицы меньше 8-ми.

 

Какая разница у чисел при счёте наискосок? На 4 единицы? Как 13 без 4-х? 13→12→11→10→9=9. Запишем: 17-8=15-6=? Если «равно» получится в записи, когда слева и справа прибавить по 9:
17-8+9=15-6+9. Считаем с плюсом. 9+8=10+7; 9+6=10+5; 17-10+7=15-10+5; 17-17=15-15; 0=0. Равенство - это всегда левое то же, что правое у знака =. 17-8=15-6=9. 13-4=9. 13-9=4. Опять число 4 при въезде на другой этаж: после 13-ти получилось 9.

 

Если мы догадались правильно, то после 9 будет получаться: 9-4=5. Проверим при въезде на следующий смежный этаж:

 

 

Запишем: 15-10=13-8. Если записать 15-10+5=13-8+5. 0=0. 5=5. Получается ряд: 21;17;13;9;5 и 5-4=1 на въезде на этаж выше, на 6-й этаж. Проверим.

 

 

Запишем: 13-12=11=10=1. Мы разгадали!

Весь ряд из шести чисел: 1,5,9,13,17,21 - все числа нечётные.

 

Вернемся к чётному дому №22. Когда 3-й раз остановили лифт, то получилось 17. А на второй остановке было 19. Получается разница в две единицы. На 4-й остановке лифта, который опускается, может получиться 17 без 2-х = 15. Проверим:

 

 

или запишем 19-4=18-3, или запишем (10+[9)-4]=(10+[8)-3]=? 10+5=10+5. Мы правильно догадались! Ряд чисел 19;17;15; и 13.

 

 

это точно 13. 18-5=17-4=13. Потом будет 11, потом… 9

 

 

Это 18-7=17-6=11 Ура!

 

 

Это 17-8=16-7=?

10+7-8=10+6-7=? Как считать? Как читать?

(10+7)-(1+7)=(10+6)-(1+6)=?

Исчезли плюсы из-за первого вычитания: 9+0=9. После 11 идёт 9.

В доме №22 спускается лифт: 19;17;15;13;11;9; и 7… и 5 и 3.

 

Это 15-8=14-7 или 15-8+7=14-7+7 или 15-1-7+7=14-7+7 или 14-7+7=14-7+7 или 14-0=14-0.

 

Значит, верно, что после 9 идёт 7, а после 7 идёт 5, а потом 3.

 

Предпоследняя остановка:

 

14-9=13-8. 10+4-9=10+3-8; 10-9+4=10-8+3; 1+4=2+3=5=5.

 

Последняя остановка:

 

13-10=12-9; 3=10+2-9; 3=1-=9+2; 3=1+2=3; 3=3. Всё!

 

Ряд чисел дома №22 записан. В ряду всего 9 чисел.

Ряд чисел дома №23 записан. В ряду пока всего 6 чисел. 21;17;13;9;5;1 и мы на… какой остановке? На 6-й.

 

Мы только что считали 12-9=3 и

 

 

Это 12-9=14-11. 14-11=3. Значит, 3=3. После 1, «единицы», идёт 3 «три». После 3 «тройки» идёт 5 «пять»? или 7?

 

 

Это 14-7=16-9. На восьмой остановке. 14-7=7; 16-9=7; 7+7=14; 7+9=10+6

 

На девятой остановке:

 

 

Запишем 16-5=18-7. Читаем 11=11. На десятой остановке:

 

 

Пишем 18-3=20-5. Читаем 15=20-5. 15=10+5+5-5=15. На 11-й остановке:

 

 

Пишем 20-1=22-3. Читаем 19=20+2-3=20-1=19.

 

Мы получили ряд чисел: 21;17;13;9;5;1;3;7;11;15;19, в котором 11 чисел в ряду. А в ряду дома №6, когда едешь вверх, из 9 чисел составляется ряд: 3;5;7;9;11;13;15;17;19. Этот ряд чисел имеет разницу в две единицы всегда и составляет ряд нечётных чисел от 3-х до 19-ти включительно. В нем нет «единицы» и «десятки», так как само название цифры дома «11|11» (22) не считается.

 

Так складывается первый общий разговор детей при просчитывании номеров на этажах у разных домов на улице. Проверить разницу в построении ряда чисел, зависящего от состава номеров на этажах, можно разрешить самим детям, объединенным в две пары. Выбираются дома на другой стороне улицы от дома 5 до дома 17 так, чтобы у каждой пары был свой дом. Воспитательница на доске записывает их выборы, отмечая напарников первыми буквами имен и фамилий. Она обещает записать время работы каждой пары. Поэтому просит всех начать работать одновременно.

 

Опыт показывает, что на десяток подсчётов затрачивается от 10 до 15 минут. Педагог с голоса детей записывает время окончания работы и на доску выносит запись затратного времени.

 

На дом предлагается попробовать одному составить ряд чисел по самостоятельно избранному дому. На третий-четвертый день начинается сравнение итогов: как удалось составить числовые ряду по проходу лифта вверх или вниз.

 

Построение числовых рядов открывает детям смысл того, что скрыто за каждым двузначным числом и его условной записью - 01, 02, 03 в виде индекса для адресного обращения за помощью при пожаре и в случае беды. Эти же индексы используются и при записи дат своего времени участия в общей работе. Это время своей жизни - 01.01.2000, т.е. первое января нового наступившего года, новых обстоятельств жизни. Три точки говорят о словах - день, месяц, год - и не могут быть не поставлены при записи даты. Именно точки оформляют понимание просьбы: запишите дату нашей работы, своей работы.

Дети уже пишущие люди, ибо используют записи слов в символьной цифровой форме, которая связана у них в памяти с буквенной записью всего алфавита. Вскоре они научатся восстанавливать полностью звучание своей речи в рукописной буквенной записи слов.

 

Описанная нами практика освоения чисел при передвижении по «улице домов для чисел» показала, что такая работа с моделью укрепила различием мест «здесь» и «там» и его описание с помощью знаков «-» и «+», а совмещение этих знаков говорит о том, что пешеход вернулся к дому, от которого начинал хождение.

Дети узнали, что им разрешено, а лучше сказать, «разрешима» любая попытка оказаться там, где они захотят по собственному выбору.

Умея хорошо перемещаться, дети смогли двигаться на лифте и определять своё местоположение на остановке и разницу между этажными остановками (интервалом в две или четыре единицы) по ходу движения, чему помог намек на постоянство этой разницы при принятом порядке подсчёта «названия остановок» вычитанием наискосок и прочтением результатов.

Возникло значимое (семантическое) описание ряда чисел и их сравнение по рядам для домов с чётными номерами и с нечётными. Объяснить такой порядок ожидаемых чисел дети смогли, построив самостоятельно дома под номерами 32 и 33. Это уравняло всех детей по их возможностям и сделало нейтральной, общепринятой каждым числовую оценку самой идеи числового ряда по его смежным числам-названиям.

 

То, что было изображено в модели, в копии образов размещения людей и стало общепринятым, сделало возможным казалось бы невозможное: помнить и выговорить все то, что дети читали и писали, настолько ярко, что они, ободренные воспитательницей, смогли её не раз удивить многообразием «ответов» на просьбу вспомнить, как у них получалось какое-нибудь число: например… и называлось любое из чисел от 5 до 20. Потоком своих ответов все дети удивляли взрослого не раз, в первый день, и потом всегда.

 

На этой волне успеха детям было предложено «решить задачу». Зачитанный им текст вызвал обсуждение сюжета, которое плавно перешло в объяснение того, что получилось, с указанием нужных числительных. Взаимопонимание было достигнуто сразу на первой задаче.

Обсуждение текста другой задачи было непростым. Сюжета не было, а вопрос относился к разности величин: на сколько разнились два ведра с водой в 13 и 12 литров. Пришлось сообща построить сюжет: в какой дом несли ведра, на какие этажи несли, были ли квартиры смежными, кто нес ведра, чтобы воду не расплескать.

Уяснив всё, дети согласились, что задача разрешима даже с разницей в 1 литр воды. Потом в другие дни каждый мог рассказать свою задачу, которую все незамедлительно решали. Уважением встретили сочинителей задач с числами больше двадцати.

 

В марте шестилеток познакомили с особой таблицей: «10 типов шкал смежных чисел». Шкала с интервалом в 11 единиц имеет 30 ходов (или шагов, переходов, интервалов). Шкала в 10 интервалов - 33 шага. Шкалы в 9 интервалов в 22 шага. Шкалы в 8, 7, 6, 5 интервалов имели почти 30 шагов. Шкалы в 4, 3, 2 интервала - более сорока шагов. Таким образом дети встретились с трёхзначными числами. Они обсудили, где повторяется одно и то же число, например, 60, 108 и другие; почему шкалы разной длины; можно ли загадать какое-нибудь число.

Детям рассказали, как - в каком направлении надо использовать плюс или минус, и как искать среднее число на любой шкале (сложить два числа возле пальцев, смежных к ним, и найти половину полученного числа). Выбор места (числа) свободный. Так родился устный счёт в пределах 100 единиц и больше.